时间：2019-07-26 点击： 次 来源：网络 作者：佚名 - 小 + 大
| 2019年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷） 一、选择题 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意知， ，故选C. 2.已知复数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵ ，则 ，∴ ，故选D. 3.下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据选项A可判断 在 上单调递增，选项B，C，D中的函数在区间 上均单调递减，故选A. 4.执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据框图进行计算，当 ， ，则 ，不合题意，继续循环； ， ，不合题意，继续循环； ， ，符合题意，输出 ，故选B. 5.已知双曲线 的离心率是 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ，∴ 得 ，故选D. 6.设函数 （ 为常数），则“ ”是“ 为偶函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当 时， 为偶函数，则“ ”是“ 为偶函数”的充分条件，当 为偶函数时， ，则 ，即“ ”是“ 为偶函数”的必要条件，所以“ ”是“ 为偶函数”的充分必要条件，故选C. 7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为 的星的亮度为 .已知太阳的星等是 ，天狼星的星等是 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵ ， ， ∴ ，∴ . 8.如图， ， 是半径为 的圆周上的定点， 为圆周上的动点， 是锐角，大小为 .图中阴影区域的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如图所示，当 运动到 时满足 ，阴影区域面积最大，此时， ， ， ， ， 因此 ，故选B. 二、填空题 9.已知向量 ， ，且 ，则 . 【答案】 【解析】∵ ，∴ ，∴ . 10.若 ， 满足 ，则 的最小值为 ，最大值为 . 【答案】 ； 【解析】根据线性约束条件，画出可行域如下， 令 ，则 ，画出直线 ，利用平移直线的方法，可知，在点 处， 取得最大值 ，在 处， 取得最小值 . 11.设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，则以 为圆心，且与 相切的圆的方程为 . 【答案】 【解析】抛物线焦点 坐标为 ，准线为直线 ，根据题意可知，焦点到准线的距离为圆的半径，∴由圆心 ，半径为 ，可得圆的方程为 . 12.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为 ，那么该几何体的体积为 . 【答案】 【解析】正方体体积为 ，去掉的四棱柱体积为 ，∴几何体体积为 . 13.已知 ， 是平面 外的两条不同直线.给出下列三个论断： ① ； ② ； ③ . 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： . 【答案】若②③，则①（或若①③，则②） 【解析】若 且 ，则 ， ， ，以及 与 相交均有可能，∴①② ③，若 且 ，∵直线 是平面 外的直线，∴ 若 且 ，根据线面垂直的性质，可知 . 14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 元/盒、 元/盒、 元/盒、 元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 元，顾客就少付 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 . ①当 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 盒，需支付 元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额不低于促销前总价的七折，则 的最大值为 . 【答案】① 元；② 【解析】①一次购买草莓和西瓜各 盒，需支付 元. ②设订单总金额为 元，若 ，可知所得金额为总金额 ，满足题意. 若 ，则有 ，解得 为满足题意，只需 小于等于 的最小值即可，∴ ，∴ 的最大值为 . 三、解答题 15.在 中， ， ， . （Ⅰ）求 、 的值； （Ⅱ）求 的值. 【解析】（I）在 中， ，有 ，又 ，即 ，∴ ，解得 ， . （II）由题意得 ，∴ ，在 中 ，又∵ ， ，∴ . 16.设 是等差数列， ，且 ， ， 成等比数列. （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）记 的前 项和为 ，求 的最小值. 【解析】（I）因为 ， ， 成等比数列，所以 ，因为 是等差数列且 ，所以 ，化简得 ，解得 ，所以 . （II） ，设 对称轴为 ，因为 ，所以 或 时， 取得最小值 . 17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月 ， 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 名学生中随机抽取了 人，发现样本中 ， 两种支付方式都不使用的有 人，样本中仅使用 和仅使用 的学生的支付金额分布情况如下： （Ⅰ）估计该校学生中上个月 ， 两种支付方式都使用的人数； （Ⅱ）从样本仅使用 的学生中随机抽取 人，求该学生上个月支付金额大于 元的概率； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用 的学生中，随机抽查 人，发现他本月的支付金额大于 元.结合（II）的结果，能否认为样本仅使用 的学生中本月支付金额大于 元的人数有变化？说明理由. 【解析】（I）在抽取的 人中，仅使用 支付方式的有 人，仅使用 支付方式的有 人， ， 两种支付方式都不是用的有 人，则 ， 两种支付方式都使用的人数为 ，则该校学生中 ， 两种支付方式都使用的人数为 人. （II）设事件 “样本中仅使用 的学生中随机抽取 人，月支付金额大于 元”，样本中仅使用 的学生有 人，样本中仅使用 的学生中，月支付金额大于 元有 人，则 . （III）不能，根据（II）的结果，在仅使用 的学生中随机抽取 人，月支付金额大于 元的概率为 ，概率表现的是事件发生的可能性，而本月的抽取为随机事件，仅抽取一次不能认为样本中仅使用 的学生中月支付金额大于 元的人数有变化. 18.如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形， 为 的中点. （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）若 ，求证：平面 平面 ； （Ⅲ）棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？ 说明理由. 【解析】（I） 平面 且 平面 ，∴ ，在菱形 中， ， 平面 ， 平面 ， ，∴ 平面 . （II） 平面 且 平面 ，∴ ，在菱形 中， ，即 ，∴ 为等边三角形，且 为 中点，∴ ，又 ， ， 平面 ， 平面 ， ，∴ 平面 ，且 平面 ，∴平面 平面 . （III）棱 上存在 点，且 为 中点，取 中点为 ，连接 ， ， ，∵ 分别 ， 中点，∴ ， ，∵底面 为菱形，∴ ， ，∴ 且 ，∴四边形 为平行四边形，∴ ，∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 . 即棱 上存在一点 ，且 为 中点，使得 平面 . 19.已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设 为原点，直线 与椭圆 交于两个不同点 ， ，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，若 ，求证：直线 经过定点. 【解析】（I）由题意得 ，解得 . （II）由 ，得 ，设 ， 由韦达定理 ， ，∴直线 为 ，令 得 ，∴ ， ，∴直线 为 ，令 得 ，∴ ，∴ ， ， 代入韦达定理得 ， ∴ ，整理得， ， ∴直线 为 ，即直线恒过定点 . 20.已知函数 . （Ⅰ）求曲线 的斜率为 的切线方程； （Ⅱ）当 时，求证： ； （Ⅲ）设 ，记 在区间 上的最大值为 .当 最小时，求 的值. 【解析】（I）由题意得， ，解得 ， ，当 时， ，切点为 ，∴ ，当 时， 切点为 ，∴ ，整理得 ，综上，切线方程为 或 . （II）要证 ，即证 ，设 ， ， ， ，得到 ， 随 的变化情况如下表： 其中 ， ， ， ，∴当 时， ，即 . （III） ， ，∵ ，∴当 时， ， ，当 时， 或 ， ，当 时， 或 或 ， ，∴ 最小值为 时， . |