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2019年高考北京卷理科数学试题(含解析)

时间:2019-07-26    点击: 次    来源:网络    作者:佚名 - 小 + 大

2019年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)

一、选择题
1.已知复数 ,则 (   )
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
【解析】∵ ,∴ ,
∴ .
2.执行如图所示的程序框图,输出的 的值为(   )
 
A.      B.      C.      D. 
【答案】B
【解析】∵ , ,∴ .
 .
 . .此时 .
∴ .
3.已知直线 的参数方程为 ( 为参数),则点 到直线 的距离是(   )
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
【解析】由直线的参数方程可得直线的普通方程为 ,则点 到直线 的距离为 .
4.已知椭圆 的离心率为 ,则(   )
A.      B.      C.      D. 
【答案】B
【解析】由题意知, ,所以 .
5.若 , ,满足 ,且 ,则 的最大值为(   )
A.      B.      C.      D. 
【答案】C
【解析】根据题意,约束条件为: 或 ,由约束条件画出如下可行域 
令 ,则 ,平移 ,可知当直线 移动到经过点 时, 取得最大值,最大值为 . 

6.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述,两颗星的星等与亮度满足 ,其中星等为 的星的亮度为 .已知太阳的星等是 ,天狼星的星等是 ,则太阳与天狼星的亮度的比值为(   )
A.      B.      C.      D. 
【答案】A
【解析】由题意可知,设 , ,则 ,
解得 .
7.设点 , , 不共线,则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的(   )
A.充分而不必要条件     B.必要而不充分条件
C.充分必要条件         D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵设 与 的向量夹角为 ,
∴ .
又∵ .
即 , .
∴为充分必要条件.
8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线 就是其中之一(如图),给出下列三个结论:
①曲线 恰好经过 个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ;
③曲线 所围成的“心形”区域的面积小于 .
其中,所有正确结论的序号是(   )
 
A.①     B.②     C.①②     D.①②③ 
【答案】C
【解析】由题意结合图像可知,该曲线关于 轴对称,且与坐标轴的交点坐标为 , ,
因为 ,(当且仅当 时等号成立)即 ,
所以曲线 上任意一点 到原点的距离 ,故②对;
由②结合图像判断可知,曲线 经过的整点有 , , ,故①对;
设点 , , , , , ,
∵ , ,
∴观察图像可知,曲线 所围成的“心形”区域的面积 ,故③错.
二、填空题
9.函数 的最小正周期是      .
【答案】 
【解析】∵ .
∴ .
10.设等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则        , 的最小值为      .
【答案】 ; 
【解析】由题意,可得 ,解得 ,所以 , ,因为 ,所以当 或 时, 取得最小值,最小值为 .

11.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示,如果网格纸上小正方形的边长为 ,那么该几何体的体积为       .
 
【答案】40
【解析】由题意结合三视图可知,去掉的四棱柱是底面为直角梯形的直四棱柱,且直角梯形的底分别为 和 ,高为 ,直四棱柱的高为 ,故该几何体的体积为 .
12.已知 , 是平面 外的两条不同直线.给出下列三个论断:
① ;② ;③ .
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:      .
【答案】若①③,则②或若②③,则①
【解析】∵ , ,∴若 , ,构造过 的平面 ,设 ,则 ,故 ,则 ;若 , ,则可在平面 内找到一条直线 使得 ,故 ,则 ;若 , ,则 与 可能平行或相交.
13.设函数 ( 为常数).若 为奇函数,则       ;若 是 上的增函数,则 的取值范围是      .
【答案】 ; 
【解析】 是奇函数, ,解得 ;
 是 上的增函数, 恒成立,即 ,解得 .

14.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为 元/盒、 元/盒、 元/盒、 元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到 元,顾客就少付 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的 .
①当 时,顾客一次购买草莓和西瓜各 盒,需支付      元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额不低于促销前总价的七折,则 的最大值为      .
【答案】 ; 
【解析】依据题意有:顾客需支付 (元).
依据题意设购物总价为 ( ).
∴有 .
∴ ,又∵ ,∴ 的最大值为 .
三、解答题
15.在 中, , , .
(Ⅰ)求 、 的值;
(Ⅱ)求 的值.
【解析】(1)在 中, , ,由余弦定理可知,
 ,解得 ,∴ .
(2)∵在 中, ,∴ , ,
∴ ,由正弦定理可得, ,
∴ , ,
∴ .
16.如图,在四棱锥 中, 平面 , , , , . 为 的中点,点 在 上,且 .
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值;
(Ⅲ)设点 在 上,且 .判断直线 是否在平面 内,说明理由.
 
【解析】(Ⅰ)证明:∵ 平面 , 平面 ,
∴ .
又∵ , .
 平面 , 平面 .
∴ 平面 .
(Ⅱ)如图所示,在平面 中过点 作 ,又有 平面 .
则以点 为坐标原点, 、 、 的方向为 , , 轴正方向建立空间直角坐标系 .
则各点坐标为 , , , , .
∵ 为 中点,∴ ,∴ .
∵点 在 上,且 ,∴ ,
∴ .
设平面 的一个法向量为 .
则有 ,即 ,
令 ,则 , .
∴ .
由(Ⅰ)可知 平面 ,
∴ 可为平面 的一个法向量.
 , .
由图可知二面角 为锐角,∴二面角 的余弦值为 .
 
(Ⅲ)直线 在平面 内,∵点 在 上,且 .
∴ ,∴ .
∵ ,∴ .
∵点 在平面 内,∴直线 在平面 内.
17.改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月 , 两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了 人,发现样本中 , 两种支付方式都不使用的有 人,样本中仅使用 和仅使用 的学生的支付金额分布情况如下:
 
(Ⅰ)从全校学生中随机抽取 人,估计该学生上个月 , 两种支付方式都使用的概率;
(Ⅱ)从样本仅使用 和仅使用 的学生中各随机抽取 人,以 表示这 人中上个月支付金额大于 元的人数,求 的分布列和数学期望;
(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用 的学生中,随机抽查 人,发现他们本月的支付金额都大于 元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用 的学生中本月支付金额大于 元的人数有变化?说明理由.
【解析】(1)记“从全校学生中随机抽取 人,该学生上个月 , 两种支付方式都使用”为事件 .
由题意知,抽取的总人数为 ,
仅使用 支付的学生人数为 人,
仅使用 支付的学生人数为 人,
 , 两种支付方式都不使用的有 人,
则 , 两种支付方式都用的学生人数为 人,
即 
(2)由题意知,随机变量 的可能取值为 .
 ,
 ,
 ,
所以 的分布列为
 
即  
(3)不能.
设上月仅用 支付金额大于2000元的人未有变化,记“抽查 人支付金额都大于 元”为事件 ,则 ,小概率事件也有发生的可能,体现了概率的随机性. 
18.已知抛物线 经过点 .
(Ⅰ)求抛物线 的方程及其准线方程;
(Ⅱ)设 为原点,过抛物线 的焦点作斜率不为 的直线 交抛物线 于两点 , ,直线 分别交直线 , 于点 和点 .求证:以 为直径的圆经过 轴上的两个定点.
【解析】(1)将 代入方程 ,得 ,解得 ,
所以抛物线 的方程为 ,准线方程为 .
(2)由题意可知,直线 斜率不存在时不符合题意,所以直线 斜率存在.
由(1)知抛物线的焦点坐标为 ,可设直线方程为 , , ,
将直线 与抛物线 联立 ,可得 ,
 恒成立,
根据韦达定理得 ,
所以直线 方程为 ,
直线 方程为 ,
则 ,假设 轴上存在定点 ,所以 ,又因为 点在以 为直径的圆上,所以 , 即 ,解得 或 ,
假设成立,故以 为直径的圆经过 轴上的两个定点 和 .
19.已知函数 .
(Ⅰ)求曲线 的斜率为 的切线方程;
(Ⅱ)当 时,求证: ;
(Ⅲ)设 ,记 在区间 上的最大值为 .
当 最小时,求 的值.
【解析】(Ⅰ) , ,令 ,解得 或 .
又 , ,所求切线方程为 和 .
(Ⅱ)令 , .
令 ,得 或 , , 随 的变化情况如下表:
 
∴ , , , .
∴ 在 上的最大值为 ,最小值为 .
∴ ,即 .
(Ⅲ) 
由(Ⅱ)知 ,
∴ .
当 时,由(Ⅱ)知, .
①当 时, ,∴ ,∴ .
②当 时, ,∴ ,∴ .
③当 时, .
综上, ,∴当 取得最小值 时, .
20.已知数列 ,从中选取第 项、第 项、 、第 项( ),若 ,则称新数列 , , , 为 的长度为 的递增子列.规定:数列 的任意一项都是 的长度为 的递增子列.
(Ⅰ)写出数列 , , , , , , 的一个长度为 的递增子列;
(Ⅱ)已知数列 的长度为 的递增子列的末项的最小值为 ,长度为 的递增子列的末项的最小值为 .若 ,求证: ;
(Ⅲ)设无穷数列 的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若 的长度为 的递增子列末项的最小值为 ,且长度为 末项为 的递增子列恰有 个( , , ),求数列 的通项公式.
【解析】(1) 或 或 或 或 或 .
(2)假设 ,
对于长度为 的递增子列,取其前 项,设第 项为 ,则 ,
该子列为 长度为 的递增子列且末项小于 ,与题干矛盾,
所以假设不成立, .
(3)数列 的通项公式为 .利用数学归纳法证明如下:
当 时, , 中必有 ,
当 时, , 中必有 且按此顺序排列,
当 时,  , 中必有 且按此顺序排列,
假设当 时, 中有 … 且按此顺序排列,
将其中前 项视为 个数对,即 … ,
由题意,组成递增子列时每个数对中选取且仅可选取一个数字,
末项为 时,满足条件的递增子列个数为 个,
当 时,  为子列末项,
若 在前 个数对之间,子列末项为 时, 以左的数对个数不超过 ,
所以满足条件的递增子列个数不超过 种,不符,
故 位于前 个数对之后, 之前,
在每一个满足条件的以 为长度子列后加上 这一项,
得到 个长度为 的递增子列,
要使数量翻倍只能是将每个子列中的 替换为 ,所以 只能是 的前项或后项,
若 为 的后项, 的前项,
以 为长度的递增子列末项可以为 ,矛盾,
故 必在 之前,因此数列中有 … 按此顺序排列,
对于数列中任意正整数都可表示为 或 ,必满足上述规律,
所以 .

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